"The English mistress started teaching Hamlet."
Here, 'teaching' is a/an-

• "The English mistress started teaching Hamlet."
- Here, 'teaching' is a gerund.

- প্রদত্ত বাক্যে, teaching (verb+ing)- transitive verb 'started' -এর object হিসেবে বসে noun -এর কাজ করেছে তাই এটি gerund.
- অর্থাৎ, 'teaching' (শিক্ষকের কাজ) এখানে শেখানোর কাজ (profession) বুঝাচ্ছে।
- এটি participle নয়, কারণ এই বাক্যে এটি কোনো noun/pronoun কে modify করেনি।
- বিশেষ করে এখানে এটি 'Hamlet' কে describe করেনি।

• Gerund:
- Verb -এর সাথে ing যোগ হয়ে যদি noun -এর কাজ করে অর্থাৎ, একই সাথে Verb ও noun -এর কাজ করে, তখন তাকে Gerund বলে।
- সহজে → Gerund = Verb + ing = noun = Verb + noun -এর কাজ করে।
- Gerunds don’t describe action—they act as nouns.

• Functions of the Gerund:
1. As a subject of a verb: Rising early is a good habit.
2. As an object of a verb: I like reading poetry.
3. As an object of a preposition: I am tired of waiting.
4. As a complement of a verb: Seeing is believing.
5. As absolutely (part of a compound noun): This is my sleeping-room.

অন্যদিকে,
• Present participle:
- Verb -এর সাথে ing যোগ হয়ে যদি adjective -এর কাজ করে অর্থাৎ, একই সাথে Verb ও adjective -এর কাজ করে, তাহলে তাকে present participle বলে।
- সহজ ভাষায় → present participle হলো Verb + ing = adjective = Verb + adjective কাজ করে।
- Present participle দ্বারা চলমান sense বোঝায়।
- যেমন: A rolling Stone gathers no moss.

• Infinitive:
- Infinitive হচ্ছে verb এর base form অথবা to + base form.
- যেমন: teach, to teach.

• Verbal Noun:
- কোন বাক্যের Verb + ing - এর পূর্বে the এবং পরে of থাকলে তাকে Verbal Noun বলে।
- The + verb+ing + of = verbal noun.
- যেমন: The writing of a good letter is difficult.

Source:
1. High School English Grammar and Composition by Wren And Martin.
2. A Passage to the English Language by S.M. Zakir Hussain.