If p is a positive integer, what is the smallest possible value of p such that 1470 × p is a perfect square?

Question: If p is a positive integer, what is the smallest possible value of p such that 1470 × p is a perfect square?

Solution:
আমরা জানি, একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে হলে তার মৌলিক গুণনীয়কের ঘাতসমূহ সবই জোড় সংখ্যা হতে হবে।

1470 = 2 × 3 × 5 × 7 × 7
= 2¹ × 3¹ × 5¹ × 7²

এখন, 1470 × p = 2¹ × 3¹ × 5¹ × 7² × p
এখানে, 2-এর ঘাত = 1 (বিজোড়), 3-এর ঘাত = 1 (বিজোড়), 5-এর ঘাত = 1 (বিজোড়), 7-এর ঘাত = 2 (জোড়)
পূর্ণবর্গ করতে হলে সব ঘাত জোড় হতে হবে। তাই p = 2 × 3 × 5 = 30 হলে,
1470 × 30 = 2¹ × 3¹ × 5¹ × 7² × (2 × 3 × 5)
= 2² × 3² × 5² × 7²

যেহেতু সব মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড়, তাই এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

সুতরাং, p = 30 হলে, 1470p পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়।