I don't know how he ______ their constant complaining.

• Put up with (idiom):
- English Meaning: Tolerate or endure something.
- Bangla Meaning: সহ্য করা,  বিনা প্রতিবাদে মেনে নেওয়া।
- Synonym: tolerate, take, accept, swallow, endure, bear, brook.

• যেহেতু প্রশ্ন প্রদত্ত বাক্যটি দ্বারা সহ্য করা নির্দেশ করছে তাই শূন্যস্থানে puts up with বসবে।
- Complete Sentence: I don't know how he ______ their constant complaining. 

• অন্য অপশন গুলোর মধ্যে -
Put off- খুলে ফেলা, বাতিল বা মুলতুবী করা / দেরী করানো। 
Put out- নিভানো, নিভিয়ে ফেলা।
Put on = পরিধান করা 

Source: Oxford Learner's Dictionary and Bangla Academy Dictionary.