He said that he (go) home the next day.

• The correct sentence is - He said that he would go home the next day. 
 
• নিয়ম: 
- Main clause এর verb টি past tense হলে ও পরের অংশে next day, next week, next month, next year ইত্যাদি উল্লেখ থাকলে subject এর পরে should/would বসে এবং এরপর verb এর base form বসে।
- তাই নিয়মানুযায়ী সঠিক উত্তর - would go