He opened the door ____ a key.

• Correct sentence: He opened the door with a key.
- Bangla meaning: সে একটি চাবির সাহায্যে দরজাটি খুলেছে।

• With (preposition)
English Meaning: used as a function word to indicate the object of attention, behavior, or feeling.
Bangla Meaning: সঙ্গে, সাথে, সহিত।

অর্থাৎ, যে যন্ত্র/উপকরণের সাহায্যে কাজটি করা হয়েছে, তা বোঝাতে preposition হিসেবে with ব্যবহৃত হয়।
এখানে দরজা খোলার কাজটি চাবির সাহায্যে করা হয়েছে, তাই with সঠিক।

অন্য অপশনগুলো:
ক) of: কোনো কিছুর অংশ, সম্পর্ক বা অধিকার বোঝাতে ব্যবহৃত হয়।
যেমন: A piece of cake.

খ) by: সাধারণত কর্তা বা পদ্ধতি বোঝাতে ব্যবহৃত হয়, কিন্তু যন্ত্র বোঝাতে এখানে প্রযোজ্য নয়।
যেমন: The book was written by him.

ঘ) at: স্থান বা সময় বোঝাতে ব্যবহৃত হয়।
যেমন: He is waiting at the door.

Source: Merriam-Webster Dictionary, Accessible Dictionary.