যদি A(1, - 2), B(- 2, 4), C(6, 8), D(9, 2) বিন্দুগুলো একটি চতুর্ভুজের ধারাবাহিক শীর্ষবিন্দু হয়, তবে চতুর্ভুজটি কোন ধরনের?

প্রশ্ন: যদি A(1, - 2), B(- 2, 4), C(6, 8), D(9, 2) বিন্দুগুলো একটি চতুর্ভুজের ধারাবাহিক শীর্ষবিন্দু হয়, তবে চতুর্ভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:

প্রদত্ত চারটি বিন্দু হলো— A(1, - 2), B(- 2, 4), C(6, 8), D(9, 2)

আমরা ঢাল বা slope ব্যবহার করে দেখাব যে, এই চারটি বিন্দু একটি আয়তক্ষেত্র তৈরি করে।

আমরা জানি, দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂)-এর মধ্য দিয়ে অঙ্কিত সরলরেখার ঢাল,
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
প্রথমে AB-এর ঢাল নির্ণয় করি।
AB-এর ঢাল = {(4 - (- 2)}/(- 2 - 1)
= (4 + 2)/(- 3)
= 6/(- 3)
= - 2

BC-এর ঢাল = (8 - 4)/{6 - (- 2)}
= 4/(6 + 2)
= 4/8
= 1/2

CD-এর ঢাল
= (2 - 8)/(9 - 6)
= - 6/3
= - 2

DA-এর ঢাল = (- 2 - 2)/(1 - 9)
= (- 4) / (- 8)
= 1/2

এখন দেখা যাচ্ছে, AB-এর ঢাল = - 2, CD-এর ঢাল = - 2
অতএব, AB ∥ CD

আবার,
BC-এর ঢাল = 1/2, DA-এর ঢাল = 1/2

অতএব, BC ∥ DA
অর্থাৎ, বিপরীত বাহু দুটি করে সমান্তরাল। তাই ABCD একটি সামান্তরিক।

AB-এর ঢাল × BC-এর ঢাল
= (- 2) × (1/2)
= - 1

আমরা জানি, দুটি সরলরেখার ঢালের গুণফল - 1 হলে রেখা দুটি পরস্পর লম্ব হয়।
সুতরাং, AB ⟂ BC
অর্থাৎ, ABCD সামান্তরিকটির একটি কোণ সমকোণ।

আমরা জানি, কোনো সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে সেটি আয়তক্ষেত্র হয়।

অতএব, A(1, - 2), B(- 2, 4), C(6, 8), D(9, 2) বিন্দুগুলো যোগ করলে একটি আয়তক্ষেত্র পাওয়া যায়।