দুইটি সংখ্যার গ, সা, গু, অন্তর ও ল, সা, গু যথাক্রমে ১২, ২৪ ও ১৮০ হলে সংখ্যা দুটি কত?

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ, সা, গু, অন্তর ও ল, সা, গু যথাক্রমে ১২, ২৪ ও ১৮০ হলে সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গ.সা.গু = ১২
ল.সা.গু = ১৮০
দুটি সংখ্যার অন্তর = ২৪

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু × ল.সা.গু
= ১২ × ১৮০
= ২১৬০

ধরি, সংখ্যা দুটি ১২x এবং ১২y ; [যেখানে x ও y সহমৌলিক]

শর্তমতে,
১২x × ১২y = ২১৬০
⇒ ১৪৪xy = ২১৬০
⇒ xy = ২১৬০/১৪৪
∴ xy = ১৫ ......(১)

আবার, সংখ্যাটির অন্তরফল = ২৪
১২y - ১২x = ২৪
⇒ ১২(y - x) = ২৪
⇒ y - x = ২৪/১২
⇒ y - x = ২
∴ y = ২ + x .........(২)

(১) নং হতে পাই,
xy = ১৫
⇒ x(২ + x) = ১৫
⇒ x^২ + ২x - ১৫ = ০
⇒ x^২ + ৫x - ৩x - ১৫ = ০
⇒ x(x + ৫) - ৩(x + ৫) = ০
⇒ (x + ৫)(x - ৩) = ০

∴ x = - ৫ এবং x = ৩

(২) নং হতে পাই,
∴y = ২ + x = ২ + ৩ = ৫

∴ সংখ্যা দুটি = ১২ × ৩ = ৩৬ এবং ১২ × ৫ = ৬০
সুতরাং, সংখ্যা দুটি = ৩৬ এবং ৬০