+ ১২৮ + ৬৪ + ........... ধারাটির প্রথম ১০টি পদের সমষ্টি কত?

প্রশ্ন: ২৫৬ + ১২৮ + ৬৪ + ........... ধারাটির প্রথম ১০টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান :

এটি একটি গুনোত্তর ধারা।

আমরা জানি,
• কোন গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ‍a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে, n তম পদ = ar^{n - 1}
• কোন গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ‍a এবং সাধারণ অনুপাত r > 1 হলে, n তম পদের সমষ্টি = a (rⁿ - 1)/(r - 1)
• কোন গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ‍a এবং সাধারণ অনুপাত r < 1 হলে, n তম পদের সমষ্টি = a (1 - rⁿ)/(1 - r)

এখানে,
প্রথম পদ, a = ২৫৬
সাধারণ অনুপাত, r = ১২৮/২৫৬
= ১/২

এখানে, r < 1 বলে,
n তম পদের সমষ্টি = a (1 - rⁿ)/(1 - r)
প্রথম ১০টি পদের সমষ্টি = ২৫৬ {১ - (১/২)^১০}/{১ - (১/২)}
= ২৫৬{১ - ১)/১০২৪}/(১/২)
= {২৫৬ - (১/৪)}/(১/২)
= ২{২৫৬ - (১/৪)}
= {৫১২ - (১/২)}
= (১০২৪ - ১)/২
= ১০২৩/২